11. 根系分类

在本节， $Φ$ 是根系统， $l$ 为其秩， $Δ$ 是基， $W$ 是 Weyl 群。

Cartan 矩阵

Cartan 矩阵与 Cartan 整数

定义：Cartan 矩阵

固定单根的一个顺序 $α_{1}, \dots, α_{l}$ ，称矩阵 $(⟨ α_{i}, α_{j} ⟩)_{i, j = 1}^{l}$ 为 $Φ$ 的 Cartan 矩阵（Cartan matrix）。其矩阵元称为 Cartan 整数（Cartan integers）。

例子：Cartan 矩阵

对 rank 2 根系统，其 Cartan 矩阵有

A_{1} \times A_{1} : (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix})

A_{2} : (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

B_{2} : (\begin{matrix} 2 & - 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

G_{2} : (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 3 & 2 \end{matrix})

附注

虽然 Cartan 矩阵具体长什么样取决于取的线性基的顺序，但这并不关键。最重要的一点是 Cartan 矩阵与选取的基 $Δ$ 无关：这是因为 Weyl 群在基上的作用是传递的，任一个基可由 Weyl 群打到选定的一个基，同时 Cartan 整数被保持。
Cartan 矩阵非奇异：因为 $Δ$ 是一个线性基。

Cartan 整数完全确定根系

下面，我们来将 $Φ$ 完全刻画出来。

命题：根双射的泛性质

设 $Φ^{'} \subset E^{'}$ 是另一个根系，其基为 $Δ^{'} = {α_{i}^{'}}_{i = 1}^{l}$ 。如果 $⟨ α_{i}, α_{j} ⟩ = ⟨ α_{i}^{'}, α_{j}^{'} ⟩$ 对任意 $i, j$ 成立，则双射 $α_{i} \mapsto α_{i}^{'}$ 可唯一确定一个线性同构 $φ : E ≅ E^{'}$ ，满足：

$Φ$ 被打到 $Φ^{'}$ ；
$⟨ φ (α), φ (β) ⟩ = ⟨ α, β ⟩$ ， $\forall α, β \in Φ$ 。

因此， $Φ$ 的 Cartan 矩阵在同构意义下确定一个根。

证明： 由于 $Δ, Δ^{'}$ 为 $E$ 的根，因此存在一个唯一的线性同构 $φ : E ≅ E^{'}$ 将 $α_{i}$ 打到 $α_{i}^{'}$ 。直接验证可知有如下的交换图成立：

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\node at (0,0) {$E$};
\node at (4,0) {$E'$};
\node at (0,-4) {$E$};
\node at (4,-4) {$E'$};
\draw[->] (.5,0) -- (3.5,0) node[pos=.5,above] {$\varphi$};
\draw[->] (.5,-4) -- (3.5,-4) node[pos=.5,below] {$\varphi$};
\draw[->] (0,-.5) -- (0,-3.5) node[pos=.5,left] {$\sigma_\alpha$};
\draw[->] (4,-.5) -- (4,-3.5) node[pos=.5,right] {$\sigma_{\varphi(\alpha)}$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

由于 Weyl 群由简单反射生成，故 $σ \mapsto φ \circ σ \circ φ^{- 1}$ 是 Weyl 群之间的同构，将 $σ_{α}$ 打到 $σ_{φ (α)}$ 。但每个 $β$ 与单根 $W -$ 共轭，例如 $β = σ (α)$ ， $α$ 为单根，这导致 $φ (β) = φ \circ σ \circ φ^{- 1} (α)$ 。因此 $φ$ 把 $Φ$ 映到 $Φ^{'}$ ；更进一步，该公式给出 $φ$ 保持所有 Cartan 整数。 $◻$

附注

该命题说明用 Cartan 整数还原 $Φ$ 原则上是可能的。事实上，很容易找出一个实际的算法来写出所有的根（或所有正根）。
最好的方案或许是从根串出发考虑。对任意根对 $α_{i} \neq α_{j}$ ，过 $α_{i}$ 的 $α_{j} -$ 串为

α_{i} - r α_{j}, α_{i} - (r - 1) α_{j}, \dots, α_{i} + q α_{j} .

这里 $r$ 可以逐步确定，而 $q$ 可以由根串长度公式给出。下面将演示一个例子。

示例：根据 Cartan 整数，还原

G_{2}

型根系

$G_{2}$ 型根系的“特别的” Cartan 整数为

⟨ α, β ⟩ = - 3.

我们依高度进行分类，通过躲开已知根的倍数来还原其正根，从而还原其整个根系。

高为1的正根。即单根，有 $α, β$ 。
到这一步，已知的根有： ${α, β}$ 。
高为 2 的正根。唯一可能的正根为 $α + β$ 。由于 $⟨ α, β ⟩ < 0$ ，因此 $α + β$ 是正根。
到这一步，已知的根有： ${α, β, α + β}$ 。
高为 3 的正根。其必落在过 $α + β$ 的根串中，于是考虑：
- 过 $α + β$ 的 $α -$ 根串。对此根串，我们有：
  - $r = 1$ ：因为 $α + β - α = β$ 是根， $α + β - 2 α = β - α$ 不是根。
  - $r - q = ⟨ α + β, α ⟩$ ，而由 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 的首位线性性
$⟨ α + β, α ⟩ = ⟨ α, α ⟩ + ⟨ β, α ⟩ = 2 - 1 = 1$ 因此 $q = 0$ 。
从而，该根串为 $β \to α + β$ ，不含高为 3 的正根。
- 过 $α + β$ 的 $β -$ 根串。对此根串，我们有：
  - $r = 1$ ： $α + β - β = α$ 是根， $α + β - 2 β = α - β$ 不是根。
  - $r - q = ⟨ α + β, β ⟩$ ，而由首位线性性
$⟨ α + β, β ⟩ = ⟨ α, β ⟩ + ⟨ β, β ⟩ = - 3 + 2 = - 1$ 因此 $q = 2$ 。
从而，该根串为 $α \to α + β \to α + 2 β \to α + 3 β$ ，有高为 3 的根 $α + 2 β$ 。
- 综上，高为 3 的正根有且仅有 $α + 2 β$ 。
  已知的根有 ${α, β, α + β, α + 2 β}$ 。
高为 4 的正根。其必落在 $α + 2 β$ 的根串中，于是考虑：
- 过 $α + 2 β$ 的 $α$ 根串。可以像之前一样考虑，但注意到此根串中高为 4 的正根是 $2 α + 2 β = 2 (α + β)$ ，是已知根的倍数，故排除这种情形。
- 过 $α + 2 β$ 的 $β$ 根串。对此根串，我们有：
  - $r = 2$ ；
  - $r - q = ⟨ α + 2 β, β ⟩ = - 3 + 2 \times 2 = 1$ ，因此 $q = 1$ ；
    从而根串为 $α \to α + β \to α + 2 β \to α + 3 β$ ，有高为 4 的根 $α + 3 β$ 。

综上，高为 4 的根有且仅有 $α + 3 β$ 。
已知的根有 ${α, β, α + β, α + 2 β, α + 3 β}$ 。

高为 5 的正根。其必落在 $α + 3 β$ 的根串中。考虑：

过 $α + 3 β$ 的 $α$ 根串。对此根串，我们有：
- $r = 0$ 。因为 $α + 3 β$ 是根， $3 β$ 不是根：其为已知根 $β$ 的倍数。
- $r - q = ⟨ α + 3 β, α ⟩ = 2 - 3 \times 1 = - 1$ ，得 $q = 1$ 。
从而根串为 $α + 3 β \to 2 α + 3 β$ ，有高为 $5$ 的根 $2 α + 3 β$ 。
过 $α + 3 β$ 的 $β$ 根串。对此根串，我们有：
- $r = 3$ ；
- $r - q = ⟨ α + 3 β, β ⟩ = - 3 + 3 \times 2 = 3$ ，从而 $q = 0$ 。
从而根串为 $α \to α + β \to α + 2 β \to α + 3 β$ ，没有高为 5 的根。
综上，高为 5 的根有且仅有 $2 α + 3 β$ 。
已知的根有 ${α, β, α + β, α + 2 β, α + 3 β, 2 α + 3 β}$ 。

高为 6 的正根。其必落在 $2 α + 3 β$ 的根串中。考虑：
- 过 $2 α + 3 β$ 的 $β$ 根串。此根串中高为 6 的根为 $2 α + 4 β$ ，是已知根的倍数，矛盾。
- 过 $2 α + 3 β$ 的 $α$ 根串。此根串中高为 6 的根为 $3 α + 3 β$ ，是已知根的倍数，矛盾。
- 综上，没有高为 6 的根串。

综上， $G_{2}$ 的根系正部为

Φ^{+} = {α, β, α + β, α + 2 β, α + 3 β, 2 α + 3 β} .

取负号即得负部。

Coxeter 图与 Dynkin 图

定义： Coxeter 图

$Φ$ 的 Coxeter 图（Coxeter graph）是满足如下条件的无向图 $(V_{Φ}, E_{Φ})$ ：

顶点个数为秩： $| V_{Φ} | = l$ ，分别对应一个单根： $v_{i} \leftrightarrow α_{i}$ ， $α_{i} \in Δ$ ；
对两个顶点 $v_{i}, v_{j}$ ，二者间边的重数为 $⟨ α_{i}, α_{j} ⟩ ⟨ α_{j}, α_{i} ⟩$ 。

示例：秩为 2 的根系的Coxeter图

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (.1);
\draw (2,0) circle (.1);
\node at (1,-.5) {$A_1\times A_1$};
\draw (6,0) circle (.1);
\draw (8,0) circle (.1);
\draw (6.1,0) -- (7.9,0);
\node at (7,-.5) {$A_2$};
\draw (0,-2) circle (.1);
\draw (2,-2) circle (.1);
\draw (0,-1.9) -- (2,-1.9);
\draw (0,-2.1) -- (2,-2.1);
\node at (1,-2.5) {$B_2$};
\draw (6,-2) circle (.1);
\draw (8,-2) circle (.1);
\draw (6,-1.9) -- (8,-1.9);
\draw (6,-2.1) -- (8,-2.1);
\draw (6.1,-2) -- (7.9,-2);
\node at (7,-2.5) {$G_2$};
\end{tikzpicture}
\end{document}

定义：Dynkin 图

在 Coxeter 图上，在有连边且重数高于 2 的边上画箭头：表示长根的点指向表示短根的点。

示例：Dynkin 图的一个示例

$F_{4}$ 有四个单根： $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ ，其中除

⟨ α_{2}, α_{3} ⟩ = - 2, ⟨ α_{1}, α_{2} ⟩ = ⟨ α_{3}, α_{4} ⟩ = - 1

外，其余关系均为正交。则 Coxeter 图中 $v_{1} - v_{2}, v_{3} - v_{4}$ 为一重边， $v_{2} - v_{3}$ 为二重边。
为进一步确定，由 $⟨ α_{2}, α_{3} ⟩ > 1$ 知 $∥ α_{2} ∥ > ∥ α_{3} ∥$ ， $α_{2}$ 是长根。故 Dynkin 图如图所示。
反过来，根据此图，也很容易确定 Cartan 整数：没连线的点对应整数为 $0$ ，连一根的相互之间为 $- 1$ ，连两根的两组左为长根，右为短根，故 $⟨ α_{2}, α_{3} ⟩ = - 2$ ，反过来的为 $- 1$ 。

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle (.1);
\draw (2,0) circle (.1);
\draw (4,0) circle (.1);
\draw (6,0) circle (.1);
\draw (.1,0) -- (1.9,0);
\draw (4.1,0) -- (5.9,0);
\draw (2,.1) -- (4,.1);
\draw (2,-.1) -- (4,-.1);
\draw (2.8,.2) -- (3.2,0);
\draw (2.8,-.2) -- (3.2,0);
\end{tikzpicture}
\end{document}

不可约分支

附注

$Φ$ 不可约当且仅当其 Coxeter 图联通。

命题：

$Φ$ 可被唯一分解为不可约根系之和

不可约根系分类定理

定理：不可约根系分类

设 $Φ$ 是 $l$ 秩根系，则其 Dynkin 图能且只能为
$1.png$
$2.png$